题目内容
【题目】已知函数
(
).
(Ⅰ)若
在
处的切线过点
，求
的值；
(Ⅱ)若恰有两个极值点
，
(
).
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)求证：
.
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ) (ⅰ) 
(ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出在
处的切线的斜率，求出切线方程，把点
代入切线方程中，求出
的值；
(Ⅱ) (ⅰ) 
，
，
，分类讨论函数的单调性；
当
时，可以判断函数没有极值，不符合题意；
当
时，可以证明出函数有两个极值点
，
，故可以求出的取值范围；
由(ⅰ)知
在
上单调递减，
，且
，
由
得
，
，又
，
.
法一：先证明
（
）成立，应用这个不等式，利用放缩法可以证明出
成立；
法二：令
()，求导，利用单调性也可以证明出
成立.
解:(Ⅰ)，
又
在处的切线方程为
，即
切线过点，
(Ⅱ)(ⅰ) ，，，
当时，
，在
上单调递增，无极值，不合题意，舍去
当时，令，得
，
(
)，
或
;
，在
上单调递增，在上单调递减，在
上单调递增，恰有个极值点，，符合题意，
故的取值范围是
(ⅱ)由(ⅰ)知在上单调递减，，且，
由得，，又，
法一:下面证明（），令
（），
，
在
上单调递增，
，即（），
，
综上
法二:令()，则
，
在上单调递增，
，即
，
综上
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【题目】据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：
职务 | 董事长 | 副董事长 | 董事 | 总经理 | 经理 | 管理员 | 职员 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 1 | 5 | 3 | 20 |
工资 | 5500 | 5500 | 3500 | 3000 | 2500 | 2000 | 1500 |
（1）求该公司职工月工资的平均数（精确到元）；
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数又是什么？（精确到元）
（3）你认为工资的平均数能反映这个公司员工的工资水平吗？结合此问题谈一谈你的看法.
