题目内容
已知函数f(x)=
x3+
ax2+2bx+3c的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则b-3a的取值范围是（ ）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| A、（3，10） |
| B、（-∞，3）∪（10，+∞） |
| C、（-6，-1） |
| D、（-∞，-6）∪（-1，+∞） |
分析：对函数求导，由已知结合二次函数的图象可得
，代入可得关于a，b的二元一次不等式组，利用线性规划的知识，画出平面区域，在可行域内找到目标函数=-3a+b取得最大值及最小值点．
|
解答：解：∵f′（x）=x2+ax+2b
由题意可得f′（x）=0的两根x1，x2，
且x1∈（0，1），x2∈（1，2）
∴
，∴
，
令Z=-3a+b做出不等式表示的平面区域：
如图中的△ABC内部区域（不包括边界）A（-3，1）B（-1，0）C（-2，0）
由线性规划的知识可得Z=-3a+b，
在A（-3，1） B（-1，0）分别取得最大值10，最小值3，但由于不包括边界
∴3＜Z＜10
故选A．
由题意可得f′（x）=0的两根x1，x2，
且x1∈（0，1），x2∈（1，2）
∴
|
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令Z=-3a+b做出不等式表示的平面区域：
如图中的△ABC内部区域（不包括边界）A（-3，1）B（-1，0）C（-2，0）
由线性规划的知识可得Z=-3a+b，
在A（-3，1） B（-1，0）分别取得最大值10，最小值3，但由于不包括边界
∴3＜Z＜10
故选A．
点评：本题以函数的极值为切入点，借助于二次函数的图象及二次方程的实根分布把问题转化为平面区域内求目标函数的最值问题，是一道综合性较好的试题，体会“转化思想”在解题中的应用．
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