Question

15．过点A（-$\sqrt{6}$，0）和抛物线x²=2py焦点F的直线与抛物线相交于点B，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$．
（1）求抛物线的方程；
（2）M，N为抛物线上两点，O为原点，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1，过M，N分别作抛物线的两条切线，相交于P点，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用Rt△AOF与Rt△ACB相似，计算即得结论；
（2）通过设直线MN的方程y=kx+b，并与抛物线方程联立，通过$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1计算可知直线MN恒过点（0，1），其方程为y=kx+1，利用两点间距离公式可知|MN|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$，通过过M点的切线方程y-y_M=x_M（x-x_M）与过N点的切线方程y-y_N=x_N（x-x_N）作差、整理可知过M、N的两条抛物线的切线相交于点P（k，-1），
利用点到直线的距离公式可知点P到直线MN的距离d，利用S_△PMN=$\frac{1}{2}$•d•|MN|计算即得结论．

解答 解：（1）过点B作x轴垂线交于C，则Rt△AOF～Rt△ACB，
∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，∴$\frac{|AO|}{|AC|}$=$\frac{|OF|}{|CB|}$=$\frac{|AF|}{|AB|}$=$\frac{2}{3}$，
∵A（-$\sqrt{6}$，0），F（0，$\frac{p}{2}$），
∴x_B+$\sqrt{6}$=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{6}$，y_B=$\frac{3}{2}$•$\frac{p}{2}$=$\frac{{{x}_{B}}^{2}}{2p}$，
解得：p=1，
∴抛物线的方程为：x²=2y；
（2）依题意，设直线MN的方程为：y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，消去y、整理得：x²-2kx-2b=0，
∴x_Mx_N=-2b，x_M+x_N=2k，
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1，∴x_Mx_N+y_My_N=-1，
∴x_Mx_N+$\frac{1}{4}$（x_Mx_N）²=-1，
整理得：（$\frac{1}{2}$x_Mx_N+1）²=0，
解得：x_Mx_N=-2，
∴-2b=-2，即b=1，
∴直线MN恒过点（0，1），其方程为y=kx+1，
且|MN|=$\sqrt{（{x}_{M}-{x}_{N}）^{2}+（{y}_{M}-{y}_{N}）^{2}}$
=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（{x}_{M}+{x}_{N}）^{2}-4{x}_{M}{x}_{N}}$
=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$，
∵抛物线的方程为x²=2y，∴y′=x，
∴过M点的切线方程为：y-y_M=x_M（x-x_M）=x_Mx-${{x}_{M}}^{2}$，即y=x_Mx-y_M，
过N点的切线方程为：y-y_N=x_N（x-x_N）=x_Nx-${{x}_{N}}^{2}$，即y=x_Nx-y_N，
两式相减得：x=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{{x}_{M}-x}_{N}}$=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}{{x}_{N}}^{2}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{1}{2}$（x_M+x_N）=$\frac{1}{2}•2k$=k，
∴y=x_Mx-y_M=x_M•$\frac{1}{2}$（x_M+x_N）-$\frac{1}{2}$${{x}_{M}}^{2}$=$\frac{1}{2}$x_Mx_N=-1，
∴过M、N的两条抛物线的切线相交于点P（k，-1），
∵点P到直线MN的距离d=$\frac{|{k}^{2}+1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{k}^{2}+2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$•d•|MN|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{k}^{2}+2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$
=（k²+2）•$\sqrt{{k}^{2}+2}$
=$（{k}^{2}+2）^{\frac{3}{2}}$，
显然当k=0时，△PMN面积的最小，最小值为${2}^{\frac{3}{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．