题目内容
设函数.
(Ⅰ)证明:当,;
(Ⅱ)设当时,,求的取值范围.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) .
解析试题分析:(Ⅰ)当时,求导数,令,,求函数的单调区间与极值,再求最大值,从而判断,当时,成立;(Ⅱ)由,注意到.再求,对实数分三种情况讨论,①,②,③,分别求出当时,分别通过函数单调性,判断函数的单调性,从而求得的的取值范围,再求并集.
试题解析:(Ⅰ)当时,,则
令,得,当时,,所以在为增函数;
当时,,所以在为减函数.
所以,.
即当时,成立. 4分
(Ⅱ)由,注意到.
设,则.
(ⅰ)当,时,,因此在为减函数,
即在为减函数,
所以在为减函数,与已知矛盾.
(ⅱ)当时,当时,
则在为减函数,此时得为减函数,
与已知矛盾.
(ⅲ)当时,当时,为增函数.
,所以在为增函数,
不等式成立.
综上所述 ,
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