题目内容
已知函数.
(1)当时,求函数在上的最大值;
(2)令,若在区间上不单调,求的取值范围;
(3)当时,函数的图象与轴交于两点,且,又是的导函数.若正常数满足条件,证明:.
(1);(2);(3)详见解析.
解析试题分析:(1)当时,,求其在上的最大值,先要求出其导函数,然后利用导数的符号,判断函数的单调区间,最后就可求出函数的最大值;(2)函数在区间上不单调,而函数在在区间又是不间断的,则区间上有根且无重根,问题就转化为方程有解的问题,分离参数后又转化为函数的值域问题,这是我们所熟悉的问题;(3)根据有两个实根,可得关于的两个等式,从而消去,再将适当放缩后构造函数,通过判断函数的单调性去求函数的最值从而证明不等式.
试题解析:(1) 2分
函数在[,1]是增函数,在[1,2]是减函数,
所以. 4分
(2)因为,所以, 5分
因为在区间上不单调,所以在(0,3)上有实数解,且无重根,
由,有=,() 6分
又当时,有重根, 7分
综上 8分
(3)∵,又有两个实根,
∴,两式相减,得,
∴, 10分
于是
. 11分
.
要证:,只需证:
只需证:.(*) 12分
令,∴(*)化为 ,只证