题目内容

6.设函数f(x)=-x2+2x+a(0≤x≤3)的最大值为m,最小值为n,其中a≠0,a∈R.
(1)求m,n的值(用a表示);
(2)已知角α的顶点与直角坐标系x Oy中的原点 O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点 A(m-1,2n+6),求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$的值.

分析 (1)由题可得函数f(x)=-(x-1)2+1+a,而0≤x≤3,再利用二次函数的性质求得最大值m、最小值n.
(2)由条件可得点A的坐标为(a,2a),故tanα=2,所以$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}+\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$,运算求得结果.

解答 解:(1)由题可得函数f(x)=-x2+2x+a=-(x-1)2+1+a的图象的对称轴为 x=1,
结合 0≤x≤3,利用二次函数的性质可得,函数的最大值 m=f(1)=1+a,最小值n=f(3)=a-3.
(2)由角β的终边经过点A(m-1,2n+6),结合m=1+a,n=a-3,可得点A的坐标为(a,2a),故tanα=2,
所以$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}+\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{16}{5}$.

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,属于中档题.

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