Question

定义在R上的奇函数f（x）为减函数，若a+b≤0，给出下列不等式：
①f（a）•f（-a）≤0；           
②f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）；
③f（b）•f（-b）≥0；            
④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正确的是

①④

（把你认为正确的不等式的序号全写上）．

Answer 1

分析：根据奇函数的性质，可以证明对任意的x，都有f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，由此可得①正确而③不正确；再根据奇函数f（x）是定义在R上的减函数，结合a+b≤0可得f（a）≥f（-b），同理f（b）≥f（-a），相加即得：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），从而得到④正确而②不正确．

解答：解：∵函数f（x）为奇函数
∴对任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x），可得f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，
由此可得①f（a）•f（-a）≤0正确，而③f（b）•f（-b）≥0不正确；
∵a+b≤0，即a≤-b，且函数f（x）为定义在R上的减函数，
∴f（a）≥f（-b），同理可得f（b）≥f（-a）
两式相加，得：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
因此，④正确而②不正确．
故答案为：①④

点评：本题给出抽象函数，在已知单调性和奇偶性的前提下，判断有关不等式是否正确，考查了函数的简单性质及其应用的知识点，属于基础题．