Question

符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数{x}=x-[x]，那么下列命题中正确的序号是

（2）、（3）

．
（1）函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]；   
（2）方程{x}=

1

2

，有无数解；
（3）函数{x}是非奇非偶函数；             
（4）函数{x}是增函数．

Answer 1

分析：要使解析式有意义，得出函数{x}的定义域为R，由周期函数的定义证明此函数为周期函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数，根据奇偶性的定义判定奇偶性即可．

解答：解：∵函数{x}的定义域为R，
而{-x}=-x-[-x]≠-{x}，且{-x}=-x-[-x]≠{x}，
∴函数{x}是非奇非偶函数；∴（3）是正确的，
又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴（1）错误，
当x=

1

2

时，{x}=

1

2

，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=

1

2

+k时（k∈Z），{x}=

1

2

，∴（2）是正确的，
∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴（4）错误
故答案为：（2）（3）

点评：本题主要考查了自定义一个函数，求函数的性质，一般研究函数从图象入手，要找出准确的切入点，x∈R时，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1），属于中档题．