题目内容

符号[x]表示不超过x的最大整数,如[2.5]=3,[-1.1]=-2,定义函数{x}=x-[x],给出下列四个命题:
①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1];
②方程{x}=
1
2
有无数解;
③函数{x}是周期函数;
④函数{x}是增函数.
其中真命题的序号有(  )
分析:通过举反例,可得①④不正确,通过x=1.5,2.5,3.5,4.5,…时,函数{x}的值都是
1
2
,说明②③正确.
解答:解:①不正确,如x=8.8时,[x]=8,显然函数的值域不是[0,1].
②正确,由于函数{x}=x-[x]的值域是[0,1),
当x=1.5,2.5,3.5,4.5,…时,都是此方程{x}=
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的解.
由②知,函数{x}是周期函数,故③正确.
④不正确,如x=1.5,2.5,3.5,4.5,…时,函数{x}的值都是
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2
,故不是增函数.
综上,②③正确,
故选A.
点评:本题考查新定义函数 {x}=x-[x]的意义,通过举反例来说明某个命题的正确性,是一种简单有效的方法.
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