Question

4．设抛物线C：y²=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为$y=±\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x₁=3x₂+2，求出k得答案．

解答 解：由y²=2x，得F（$\frac{1}{2}$，0），
设AB所在直线方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），
代入y²=2x，得k²x²-（k²+2）x+$\frac{1}{4}$k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$
结合|AF|=3|BF|，x₁+$\frac{1}{2}$=3（x₂+$\frac{1}{2}$）
解方程得k=±$\sqrt{3}$．
∴直线L的方程为$y=±\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$．
故答案为：$y=±\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．