Question

【题目】设函数f（x）=x2ex﹣1+ax3+bx2 ， 已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）= x3﹣x2 ， 试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f'（x）=ex﹣1（2x+x2）+3ax2+2bx=xex﹣1（x+2）+x（3ax+2b），

又x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，所以f'（﹣2）=f'（1）=0，

因此 解方程组得 ，b=﹣1

（2）解：因为 ，b=﹣1，所以f'（x）=x（x+2）（ex﹣1﹣1），

令f'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=0，x3=1．

因为当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，1）时，f'（x）＜0；

当x∈（﹣2，0）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．

所以f（x）在（﹣2，0）和（1，+∞）上是单调递增的；在（﹣∞，﹣2）和（0，1）上是单调递减的

（3）解：由（Ⅰ）可知 ，

故f（x）﹣g（x）=x2ex﹣1﹣x3=x2（ex﹣1﹣x），令h（x）=ex﹣1﹣x，则h'（x）=ex﹣1﹣1．

令h'（x）=0，得x=1，因为x∈（﹣∞，1]时，h'（x）≤0，

所以h（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减．故x∈（﹣∞，1]时，h（x）≥h（1）=0；

因为x∈[1，+∞）时，h'（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上单调递增．

故x∈[1，+∞）时，h（x）≥h（1）=0．

所以对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有h（x）≥0，又x2≥0，因此f（x）﹣g（x）≥0，

故对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）

【解析】（Ⅰ）根据已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，易得f'（﹣2）=f'（1）=0，从而解出a，b的值．（Ⅱ）利用导数求解函数单调的方法步骤，进行求解．（Ⅲ）比较大小，做差f（x）﹣g（x）=x2（ex﹣1﹣x），构造新函数h（x）=ex﹣1﹣x，在定义域内，求解h（x）与0的关系．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．