Question

11．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
  （Ⅰ）求$\frac{|OQ|}{|OP|}$的值；
  （Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将点点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆C方程，结合$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及a²-c²=b²，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）知椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．（i）通过设P（x₀，y₀）、$\frac{|OQ|}{|OP|}$=λ可得Q（-λx₀，-λy₀），利用$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+${{y}_{0}}^{2}$=1及$\frac{（-λ{x}_{0}）^{2}}{16}$+$\frac{（-λ{y}_{0}）^{2}}{4}$=1，计算即可；（ii）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分别将y=kx+m代入椭圆E、椭圆C的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆C上，
∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，①
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-c²=b²，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，②
联立①②，解得：a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
  （i）设P（x₀，y₀），$\frac{|OQ|}{|OP|}$=λ，
由题意可得Q（-λx₀，-λy₀），
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，及$\frac{（-λ{x}_{0}）^{2}}{16}$+$\frac{（-λ{y}_{0}）^{2}}{4}$=1，即$\frac{{λ}^{2}}{4}$（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+${{y}_{0}}^{2}$）=1，
∴λ=2，即$\frac{|OQ|}{|OP|}$=2；
  （ii）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
由△＞0，可得m²＜4+16k²，
由韦达定理，可得x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
∵直线y=kx+m交y轴于点（0，m），
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|m|•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$|m|•$\frac{4\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$
=$\frac{2\sqrt{（16{k}^{2}+4-{m}^{2}）{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$
=2$\sqrt{（4-\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}）•\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$，
设t=$\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，将y=kx+m代入椭圆C的方程，
可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△≥0，可得m²≤1+4k²，
又∵m²＜4+16k²，
∴0＜t≤1，
∴S=2$\sqrt{（4-t）t}$=2$\sqrt{-{t}^{2}+4t}$=≤2$\sqrt{3}$，
当且仅当t=1，即m²=1+4k²时取得最大值2$\sqrt{3}$，
由（i）知S_△ABQ=3S，
∴△ABQ面积的最大值为6$\sqrt{3}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．