题目内容
【题目】已知函数f(x)=2lnx+ ﹣mx(m∈R).
(Ⅰ)当m=﹣1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上为单调递减,求m的取值范围;
(Ⅲ)设0<a<b,求证: .
【答案】解:(Ⅰ)m=﹣1时,f(x)=2lnx+ +x,
∴f′(x)= ﹣ +1,f(1)=2,f′(1)=2,
故切线方程是:y﹣2=2(x﹣1),
即2x﹣y=0;
(Ⅱ)f′(x)= ﹣ ﹣m≤0在x∈(0,+∞)恒成立,
即m≥ ﹣ 在x∈(0,+∞)恒成立,
令g(x)= ﹣ ,(x>0),
∴m≥g(x)max ,
g(x)=﹣ +1,当 =1时,g(x)max=1,
故m≥1;
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)m=1时,
f(x)=2lnx+ ﹣x在x∈(0,+∞)上递减,
∵0<a<b,∴ >1,
∴f( )<f(1),
∴2ln + ﹣ <0,
lnb﹣lna< ,
即
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f(1),f′(1)的值,求出切线方程即可;(Ⅱ)求出函数的导数,问题转化为m≥ ﹣ 在x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)= ﹣ ,(x>0),根据函数的单调性求出m的范围即可;(Ⅲ)取m=1,根据函数的单调性得到f( )<f(1),即2ln + ﹣ <0,从而证明结论即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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