题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,判断函数
的单调性;
(2)若恒成立,求
的取值范围;
(3)已知,证明
.
【答案】(1)当时,函数
在区间
单调递增,
单调递减;
(2);
(3)证明过程见解析
【解析】
(1)先求函数的定义域,再求导数
,分别令
和
即可求出单调性;(2)分离变量得
恒成立,转化为求
的最大值,然后求导数判断
的单调性即可求出
的最大值,从而求得结果;(3)对
两边取对数,化简变形可得
,由(2)可知
在
上单调递减,结合条件即可证明.
由题意可知,函数的定义域为:
且
.
(1)当时,
,
若,则
; 若
,则
,
所以函数在区间
单调递增,
单调递减.
(2)若恒成立,则
恒成立,
又因为,所以分离变量得
恒成立,
设,则
,所以
,
当时,
;当
时,
,
即函数在
上单调递增,在
上单调递减.
当时,函数
取最大值,
,所以
.
(3)欲证,两边取对数,只需证明
,
只需证明,即只需证明
,
由(2)可知在
上单调递减,且
,
所以,命题得证.
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