Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右顶点分别为A，B，上顶点为C，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于P，直线BC与AD交于点Q，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=4．

Answer 1

分析 通过椭圆方程可知A（-2，0）、B（2，0）、C（0，1），从而直线BC方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+1，通过设P（t，0）可知直线l方程为：y=-$\frac{1}{t}$x+1（t≠0），联立直线l与椭圆方程计算可知D（$\frac{8t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$），从而直线AD方程为：y=$\frac{{t}^{2}-4}{2{t}^{2}+8t+8}$•x+$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4t+4}$，联立直线AD与直线BC方程计算可知Q（$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$，-$\frac{1}{2}$•$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$+1），进而计算可得结论．

解答 解：依题意，A（-2，0）、B（2，0）、C（0，1），
∴直线BC方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+1，
设P（t，0），则直线l方程为：y=-$\frac{1}{t}$x+1（t≠0），
联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：（1+$\frac{4}{{t}^{2}}$）x²-$\frac{8}{t}$x=0，
∴D（$\frac{8t}{{t}^{2}+4}$，-$\frac{1}{t}$•$\frac{8t}{{t}^{2}+4}$+1），即D（$\frac{8t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$），
∴直线AD方程为：y=$\frac{{t}^{2}-4}{2{t}^{2}+8t+8}$•x+$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4t+4}$，
联立直线AD与直线BC方程，消去y整理得：x=$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$，
∴Q（$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$，-$\frac{1}{2}$•$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$+1），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（t，0）•（$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$，-$\frac{1}{2}$•$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$+1）
=t•$\frac{4t+8}{{t}^{2}+2t}$
=4，
故答案为：4．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．