Question

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）本问中要代入a=1后，注意f₁（x）与f₂（x）的大小比较，以便于求出f（x）的解析式，进而利用函数的导数概念解决问题．
（Ⅱ）本问中借鉴上问（1）的解题思想，由具体到一般，方法依然是针对a的范围条件，作差比较出f₁（x）与f₂（x）的大小，
在2≤a＜9时，自变量x取哪些值时f（x）=f₂（x），进而确定求出f（x）的解析式，对参数的讨论要结合具体的数值，从直观到抽象采取分类策略．
（Ⅲ）本问利用（2）的结论容易求解，需要注意的是等价转化思想的应用，分类讨论思想重新在本问中的体现．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f₂（x）=|3^x-9|．
因为当x∈（0，log₃5）时，f₁（x）=3^x-1，f₂（x）=9-3^x，
且f₁（x）-f₂（x）=2•3^x-10＜2•3^log₃5-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log₃5）时，f（x）=3^x-1，且1∈（0，log₃5）（3分）
由于f'（x）=3^xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）

（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以，则
①当时，因为a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（3^x-1）=（a-1）3^x-8≤0，解得，
从而当时，f（x）=f₂（x）（6分）
②当时，因为a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0，解得，
从而当时，f（x）=f₂（x）（7分）
③当x＜0时，因为f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，
从而f（x）=f₂（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当时，f（x）=f₂（x），
故（9分）
从而当a=2时，l取得最大值为（10分）

（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）”
等价于“f₂（x）≤f₁（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3^x-9|≤|3^x-1|=3^x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，，则当x≥2时，，
则（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即，而当x≥2时，，
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，．
（1）当时，（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即，而，
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当时，（*）可化为，
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当时，（*）可化为9-a•3^x≤3^x-1，即，而，
所以，此时要求（15分）
由（1）（2）（3），得符合题意要求．
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是（16分）
点评：本题考查分段函数的有关概念，函数求值的问题；对函数的导数的概念亦有所考查，含参数的数学问题的讨论，注重对分类讨论思想，数形结合思想的考查，考查了对近年来高考真题中出现的有关恒成立问题，存在性问题的求解策略，对函数知识的综合性解题能力有很高的要求，属于压轴题的题目难度．本题的求解策略是细读题意，精确分析采取有难到易，各点击破的思想，同时注意解题思想的应用．