Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增．当x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是

(-∞，

1

2

)

．

Answer 1

分析：根据函数的奇偶性和单调性，可将x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，转化为x＞a恒成立，将恒成立问题转化为最值问题，易得实数a的取值范围

解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且不等式f（x-2a）+f（x）＞0当x∈[1-a，+∞）时恒成立，
∴f（x-2a）＞f（-x）当x∈[1-a，+∞）时恒成立
又∵函数f（x）在定义域上单调递增．
∴x-2a＞-x，即x＞a当x∈[1-a，+∞）时恒成立
即1-a＞a，解得a＜

1

2

∴实数a的取值范围是(-∞，

1

2

)
故答案为：(-∞，

1

2

)

点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中利用函数的性质，将已知中的不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，转化为x＞a恒成立，是解答的关键．