Question

已知下列命题命题：①椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1中，若a，b，c成等比数列，则其离心率e=

5 -1

2

；②双曲线x²-y²=a²（a＞0）的离心率e=

2

且两条渐近线互相垂直；③在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率为

π

4

．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①根据a，b，c成等比数列得出a，b，c的关系，进而可求得c关于a的表达式，进而根据 e=

c

a

求得e．
②由双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为-1进而求得a和b的关系，进而根据c=

a2+b2

求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．
③找出正方体中的四面体的各种图形，例如侧棱垂直底面直角三角形的四面体即可判断③的正误；
④用几何概型判断即可．

解答：解：①已知a，b，c成等比数列，∴ac=b²，椭圆的离心率 e=

5 -1

2

，故正确；
②双曲线x²-y²=a²（a＞0），则双曲线的渐近线方程为y=±x
∴两条渐近线互相垂直，
∵a²=b²，
∴c=

a2+b2

=

2

a
∴e=

c

a

=

2

，故正确；
③如四面体B₁ABD；故正确；
④概率应为1-

π

4

，故错．
故答案是①②③．

点评：本题主要考查了椭圆的基本性质，考查了双曲线的简单性质．解答关键是学生转化和化归思想和对圆锥曲线的基础知识的把握程度．