题目内容

如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起到A'BD的位置,且A'在平面BCD内的射影O落在BC边上,则二面角C-A'B-D的平面角的正弦值为(  )
分析:直接根据条件我们可以得到∠CA′D是二面角C-A′B-D的平面角,解三角形CA′D即可得到答案
解答:解:由A′O垂直于平面BCD,CD在平面BCD内,
知 A′O垂直于CD
又CD垂直BC,且A′O交BC=O,故CD垂直于平面A′BC
又 A′B在平面A′BC内,故CD垂直于A′B,
又DA′垂直于A′B,且CD交DA′=D,故A′B垂直于平面A′CD,
又 A′C在平面A′CD内,故A′B垂直于A′C,
又A′B垂直于A′D
故角CA′D是二面角C-A′B-D的平面角
在三角形CA′D中,由CD垂直于平面A′BC,A′C在平面A′BC内,可知CD垂直于A′C
又 CD=3,A′D=4,
故sin角CAD=
CD
A′ 
=
3
4

即二面角C-A'B-D的平面角的正弦值为
3
4

故选A.
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,其中求出二面角的平面角是解答本题的关键.
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