Question

已知函数f（x）=

3

sin（π-x）+cosx
（1）求f（

π

3

）；
（2）求f（x）的值域；
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）将x=

π

3

代入函数解析式，计算即可得到结果；
（2）f（x）解析式利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出f（x）的值域；
（3）根据题意及f（x）解析式求出g（x）解析式，根据正弦函数的递增区间求出x的范围，即可确定出g（x）的递增区间．

解答：解：（1）根据题意得：f（

π

3

）=

3

sin（π-

π

3

）+cos

π

3

=

3

×

3

2

+

1

2

=2；
（2）f（x）=

3

sin（π-x）+cosx=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
∵-1≤2sin（x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域为[-2，2]；
（3）由（2）知，f（x）=2sin（x+

π

6

），
依题意知g（x）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则函数y=g（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的递增区间，熟练掌握公式是解本题的关键．