Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\frac{3}{2}$）．
（1）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，求tanx的值；
（2）求f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量共线的性质可得$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{-1}{\frac{3}{2}}$，由此求得tanx的值．
（2）由条件利用两个向量的数量积的运算，三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$的最小正周期和单调递增区间．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\frac{3}{2}$），故当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{-1}{\frac{3}{2}}$，即tanx=-$\frac{2}{3}$．
（2）∵f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=sinxcosx-$\frac{3}{2}$+cos²x+$\frac{9}{4}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{4}$=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{4}$，
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量的数量积的运算，三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．