Question

【题目】如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形,侧棱底面为中点,分别为上的点，且满足.

(1)求证:平面平面, ;

(2)若三棱锥的体积为,求三棱柱的侧棱长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析,(2)6

【解析】

（1）分别取中点，连接，首先证明，，得到平面.再证明，可得到平面.又因为平面，所以平面平面.

（2）将转化为，计算即可得到的值.

（1）分别取中点，连接.

因为为正三角形，为中点

所以.

又因为底面，平面.

所以，，

所以平面.

因为分别为中点，

所以且,

又因为，

所以.

因为为中点，所以.

因为且，

所以且.

所以且，所以四边形为平行四边形.

所以

因为平面平面.

平面，所以平面平面.

（2）设侧棱长为，则，.

过作于，与（1）同理可证平面.

因为平面.

所以到平面的距离到平面的距离.

因为为正三角形，所以.

解得：.