Question

19．已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-2，2]上的函数值总小于2，则log₂a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． （-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 结合指数函数的图象和性质，由已知中函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-2，2]上的函数值总小于2，求出a的取值范围，进而由对数函数的图象和性质，求出log₂a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-2，2]上的函数值总小于2，
当0＜a＜1时，a^-2＜2，解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，此时log₂a∈（-$\frac{1}{2}$，0）
当a＞1时，a²＜2，解得：1＜a＜$\sqrt{2}$，此时log₂a∈（0，$\frac{1}{2}$）
综上所述，log₂a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，1），
故选：A．

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，是指数函数和对数函数的综合应用，难度中档．