Question

（2012•贵州模拟）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F是PD的中点，E是线段AB上的点．
（Ⅰ）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小为45°，试确定E点的位置．

Answer 1

分析：法一：
（I）取PC的中点O，连接OF，OE．由已知得OF∥DC且OF=

1

2

DC，由E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，故AEOF是平行四边形，由此能够证明AF∥平面PEC．
（II）作AM⊥CE交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理得PM⊥CE，∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．由此能够推导出要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需AE=

5

4

．
解法二：
（I）由已知，AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能够证明AF∥平面PEC．
（II）求出平面DEC的一个法向量为

AP

=(0，0，1)，设E=（t，0，0），求出平面PEC的法向量为

m

=(1，t-2，t)，利用向量法能求出要使要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需AE=

5

4

．

解答：解法一：
（I）证明：如图，取PC的中点O，连接OF，OE．
由已知得OF∥DC且OF=

1

2

DC，
又∵E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，
∴AEOF是平行四边形，
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC．
（II）解：如图，作AM⊥CE交CE的延长线于M．
连接PM，由三垂线定理得PM⊥CE，
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．
∴∠PMA=45°，
∵PA=1，∴AM=1，
设AE=x，
由△AME≌△CBE，得x=

(2-x)2+1

，解得x=

5

4

，
故要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需AE=

5

4

．
解法二：
（I）证明：由已知，AB，AD，AP两两垂直，
分别以它们所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），F(0，

1

2

，

1

2

)，
∴

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，
∵E（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，1），
设平面PEC的法向量为

m

=(x，y，z)
则

m • EC =0 m • EP =0

⇒

x+y=0 -x+z=0

，令x=1得

m

=(1，-1，1)，
由

AF

•

m

=(0，

1

2

，

1

2

)•(1，-1，1)=0，得

AF

⊥

m

，
又AF?平面PEC，故AF∥平面PEC．
（II）解：由已知可得平面DEC的一个法向量为

AP

=(0，0，1)，
设E=（t，0，0），设平面PEC的法向量为

m

=(x，y，z)
则

m • EC =0 m • EP =0

⇒

(2-t)x+y=0 -tx+z=0

，令x=1得

m

=(1，t-2，t)，
由cos45o=|

AP • n

| AP |×| n |

|⇒t=

5

4

，
故，要使要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需AE=

5

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查要使二面角的大小为45°的点的位置的确定．解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．