题目内容
定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x2+2x）＞4
解：（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：
设0＜x1＜x2，则 0＜
＜1，于是有：
＞1
f（x1）=
=f（x2）+-1＞f（x2）+1-1=f（x2）
即：f（x1）＞f（x2）．
由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
f（x2+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：
，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
（2）不等式f（x2+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}
分析：（1）抽象函数的单调性的证明，需要特别的构造方法，本题中的特点是含有f（xy），因此在设出0＜x1＜x2之后想到
构造出：0＜＜1，可应用已知得到＞1，下面的证明过程就很自然了．
对于（2）的抽象不等式的解法，是想法脱去函数符号“f”，而利用（1）的结论很容易做到，转化得出一个不等式，进而解之即可．
点评：本题考查抽象函数的概念及其应用，抽象函数单调性的证明，抽象函数不等式的解集的求法．
考查了构造函数以及函数值的赋值法即函数特值的应用技巧．
设0＜x1＜x2，则 0＜
＜1，于是有：＞1f（x1）=
=f（x2）+-1＞f（x2）+1-1=f（x2）即：f（x1）＞f（x2）．
由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
f（x2+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：
，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
（2）不等式f（x2+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}
分析：（1）抽象函数的单调性的证明，需要特别的构造方法，本题中的特点是含有f（xy），因此在设出0＜x1＜x2之后想到
构造出：0＜
＜1，可应用已知得到＞1，下面的证明过程就很自然了．对于（2）的抽象不等式的解法，是想法脱去函数符号“f”，而利用（1）的结论很容易做到，转化得出一个不等式，进而解之即可．
点评：本题考查抽象函数的概念及其应用，抽象函数单调性的证明，抽象函数不等式的解集的求法．
考查了构造函数以及函数值的赋值法即函数特值的应用技巧．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
)-f(
)=f(
)记an=f(
)，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（ ）
| 1 |
| n |
| 1 |
| m |
| m-n |
| 1-mn |
| 1 |
| n2+5n+5 |
A、f(
| ||
B、f(
| ||
C、f(
| ||
D、f(
|