Question

已知四边形为菱形,,两个正三棱锥(底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心)的侧棱长都相等,点分别在上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求平面与底面所成锐二面角的平面角的正切值;
(Ⅲ)求多面体的体积.

Answer 1

(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)  (Ⅲ)

(Ⅰ)取中点，连、，则


面，  




又
     ……………3分
(Ⅱ)设在底面的射影分别为,则
由所给的三棱锥均为正三棱锥且两三棱锥全等,
故∥,且=,∴四边形为平行四边形,
∴∥,又分别为△,△的中心,
∴在菱形的对角线上,
∴∥,即∥平面…………………………………5分
设平面与平面的交线为,取中点连结,
由
∴为平面与平面所成二面角的平面角
…………………………7分
在△中, ,
∴，
∴……………………………9分
(Ⅲ设、在和上的射影为，则均在直线上，且为平行四边形，。
为四棱锥                       

设，则，又，由（1）知
即
面，，又面。
设四棱锥的高为，且    

 在中，

F

         
                   ……………13分