Question

【题目】已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ex－y＋1＝0；(2) [ln 2－1，＋∞).

【解析】试题分析：

(1)由函数的解析式可得f′(1)＝e，f(1)＝e＋1，据此可得切线方程为ex－y＋1＝0.

(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，则原问题等价于a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，求导可得g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).

试题解析：

(1)函数的解析式：f(x)＝ex－x2＋2x，

f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，又f(1)＝e＋1，

∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.

(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，

∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，

则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，

在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，

∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，

∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).