题目内容
【题目】如图,等腰梯形中
,
,
为
的三等分点,以
为折痕把△
折起,使点
到达点
的位置,且
与平面
所成角的正切值为
.
(1)证明:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)根据折叠前后关系可得再根据线面垂直判定定理可得
,最后根据面面垂直判定定理得结果,(2)作
,垂足为O,则易得
平面
,过O作
,交
于G.以O为坐标原点,
的方向分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得各面法向量,利用向量数量积解得法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
(1)证明:依题意得,
所以,
因为,所以平面
平面
.
(2)假设,由(1)过P作
,垂足为O,则
平面
,
过O作,交
于G.
以O为坐标原点,的方向分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系,
则
设平面的法向量为
,
则 即
令,得
为平面
的一个法向量.
同理可得平面的一个法向量为
,
,
所以二面角的余弦值为
.

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