题目内容

(本小题12分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E是MN的中点。

(1)求证:平面AEC⊥平面AMN;   (6分)
(2)求二面角M-AC-N的余弦值。  (6分)

(1)略
(2)
方法一、传统几何
(1)MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ANCD,由直角三角形易得:AM=AN=MN=NC=MC=,E是MN中点,可得AE⊥MN,CE⊥MN,又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC;
(2)这里也有多种方法:
连接BD交AC与点O,底面是正方形得AC⊥BD,OE//MD推得OE⊥AC,得AC⊥平面MDBN,所以∠MON就是二面角M-AC-N的平面角,在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=

(亦可把二面角M-AC-N,拆成两个二面角M-AC-E和E-AC-N;或者抽取出正四面体MNAC,再求侧面与地面所成角;或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角)
方法二、向量几何
MD⊥平面ABCDMD⊥DA,MD⊥DC,又底面ABCD为正方形DA⊥DC,故以点D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DM为z轴,如图建立空间直角坐标系。
则各点的坐标A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),M(0,0,1),N(1,1,1),
E(,1)                            ……3分
(1) ·=…=0MN⊥AE;
·=…=0MN⊥AC
又AC∩AE=E,故MN⊥平面AEC;      ………7分
(2)不妨设平面AMC的法向量为=(1,y,z),平面ANC的法向量为=(1,m,n) 则由,·=0,·=0,代入坐标解得=(1,1,1)---9分
,·=0,·=0,代入坐标运算得=(1,1,-1)--11分
Cos<,>==                             -------12分
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