Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=6，AA₁=8，点E在AB上，AE=1，点F在BC上，BF=3，过EF作于底面成30°角的截面，则截面面积是（　　）

• A．6

  3

• B．13

  3

• C．3

  3

  或13

  3

• D．3

  3

  或9

  3

Answer 1

分析：连接BD，则有BD⊥EF．由于AA₁=8，那么截面所成的图形或为三角形，或为五边形．对于三角形，比较简单．求出截面在底面的射影三角形的面积，然后就可得截面三角形面积=

射影三角形面积

cos30°

，可求；对于五边形的射影面积=底面矩形面积-射影三角形面积可求，同样截面五边形面积=

射影五边形面积

cos30°

，可求出．

解答：解：由题意，连接BD，则有BD⊥EF．那么截面所成的图形或为三角形，或为五边形
对于三角形，比较简单．求出截面在底面的射影三角形的面积为

1

2

×BE×BF=

9

2

∴截面三角形面积=

射影三角形面积

cos30°

=3

3

对于五边形的射影面积=底面矩形面积-射影三角形面积=

39

2

同样截面五边形面积=

射影五边形面积

cos30°

=13

3

故选C．

点评：本题以长方体为载体，考查几何体的截面问题，关键是搞清截面有两种情形，同时利用截面三角形面积=射影三角形面积÷cos30°．