题目内容

已知椭圆的离心率相等. 直线与曲线交于两点(的左侧),与曲线交于两点(的左侧),为坐标原点,
(1)当=时,求椭圆的方程;
(2)若,且相似,求的值.

(1)的方程分别为.(2).

解析试题分析:(1)由于已知中明确了曲线方程的形式,所以,关键是建立“待定系数”.由已知建立方程组即可得解.
(2)由于三角形相似,因此要注意利用对应边成比例,并结合,建立的方程.将与方程联立可得在坐标关系.
利用,得到 .
根据椭圆的对称性可知:,又相似,得到
于是从出发,得到,即的方程.
试题解析:
(1)∵的离心率相等,
,∴,                     2分
,将分别代入曲线方程,

.
=时,,
又∵,.
 解得.
的方程分别为.               5分
(2)将代入曲线
代入曲线
由于
所以,

                               8分
根据椭圆的对称性可知:, 又相似,


化简得
代入                         13分
考点:椭圆的几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,平面向量的数量积.

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