题目内容
已知椭圆与的离心率相等. 直线与曲线交于两点(在的左侧),与曲线交于两点(在的左侧),为坐标原点,.
(1)当=,时,求椭圆的方程;
(2)若,且和相似,求的值.
(1)的方程分别为,.(2).
解析试题分析:(1)由于已知中明确了曲线方程的形式,所以,关键是建立“待定系数”.由已知建立方程组即可得解.
(2)由于三角形相似,因此要注意利用对应边成比例,并结合,建立的方程.将与方程,联立可得在坐标关系.
利用,得到 .
根据椭圆的对称性可知:,,又和相似,得到,
于是从出发,得到,即的方程.
试题解析:
(1)∵的离心率相等,
∴,∴, 2分
,将分别代入曲线方程,
由,
由.
当=时,,.
又∵,.
由 解得.
∴的方程分别为,. 5分
(2)将代入曲线得
将代入曲线得,
由于,
所以,,,.
,,
8分
根据椭圆的对称性可知:,, 又和相似,
,
,
由化简得
代入得 13分
考点:椭圆的几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,平面向量的数量积.
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