题目内容

已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合与在第一和第四象限的交点分别为.
（1）若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；
（2）若，求椭圆的离心率；
（3）点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．

（1）；（2）；（3）证明过程详见试题解析.

解析试题分析：（1）由△AOB是边长为的正三角形得到,代入抛物线方程中，可以得到所求抛物线方程为；（2）由可知点的横坐标是，因此可结合建立关于的方程为：，解出；（3）利用设而不求的思想，可先设三点后代入椭圆方程中，由于的方程为，求出，，那么化简后得到：.
试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为 
∵△是边长为的正三角形，
∴点A的坐标是，
代入抛物线的方程解得，
故所求抛物线的方程为
（2）∵, ∴ 点的横坐标是
代入椭圆方程解得，即点的坐标是
∵ 点在抛物线上，
∴，
将代入上式整理得：，
即，解得
∵ ，故所求椭圆的离心率.
（3）证明：设，代入椭圆方程得

而直线的方程为
令得.
在中，以代换得
∴  .
考点：圆锥曲线；直线与圆锥曲线的位置关系.

练习册系列答案
相关题目

我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

（1）求抛物线方程；
（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.

已知椭圆的右焦点为，设左顶点为A，上顶点为B且，如图．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，过的直线交椭圆于两点，试确定的取值范围．

已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，点F2(c,0)到直线l：x＝的距离为3.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．

已知椭圆与的离心率相等. 直线与曲线交于两点（在的左侧），与曲线交于两点（在的左侧）,为坐标原点，．
（1）当=，时，求椭圆的方程；
（2）若，且和相似，求的值．

已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点是，又点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程;
（2）已知直线的斜率为，若直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)线段OF2(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

如图所示，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1,0)，点A在椭圆上．

(1)求椭圆方程；
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝b2上，点M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P、Q两点，问||＋||＋||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网