Question

【题目】已知椭圆C的焦点坐标是F1（﹣1，0）、F2（1，0），过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点P（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M，N，试判断：在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为 =1（a＞b＞0），

由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，

又x=1时，y=±b ，

可得 =3，

解得a=2，b= ，

即有椭圆的方程为 ；

（2）解：设直线l的方程为y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为E（x0，y0），

在x轴上假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，

即有AE⊥MN，

由y=kx+2代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16kx+4=0，

则△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得k＞ 或k＜﹣ ，

x1+x2=﹣ ，中点x0=﹣ ，

y0=k（﹣ ）+2= ，

由kAE=﹣ ，可得 =﹣ ，

可得m=﹣ = ，

当k＞ 时，4k+ ≥4 ，即有﹣ ≤m＜0；

当k＜﹣ 时，4k+ ≤﹣4 ，即有0＜m≤ ．

综上可得，存在点A（m，0），且m∈[﹣ ，0）∪（0， ]，

使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形

【解析】（1）设椭圆方程为 =1（a＞b＞0），由题意可得c=1，再由x=1代入椭圆方程，可得弦长，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=kx+2，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），MN的中点为E（x0 ， y0），在x轴上假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，即有AE⊥MN．将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合基本不等式即可得到所求m的范围，进而判断存在．