Question

（2011•佛山二模）（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
①1-

x

y

＜lny-lnx＜

y

x

-1(0＜x＜y)；
②

n

k-2

1

k

＜lnn＜

n-1

k-1

1

k

(n＞1)．
（2）设f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若对任意的实数x，y，f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．

Answer 1

分析：（1）①构造出函数f（x）=lnx，f′（ξ）=

1

ξ

，x＜ξ＜y，依题意lny-lnx=

y-x

ξ

，又

y-x

y

＜

y-x

ξ

＜

y-x

x

，从而可证1-

y

x

＜lny-lnx＜

y

x

-1（0＜x＜y）；②由①知，得

2-1

2

＜ln2-ln1＜

2-1

1

，

3-2

2

＜ln3-ln2＜

3-2

2

，…，

n-(n-1)

n

＜lnn-ln（n-1）＜

n-(n-1)

n-1

，累加即可证得结论；
（2）易证当n=1与n=2时等式f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）成立，通过反例x=2，y=0，可证得当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）不恒成立，从而可知n的所有可能值．

解答：证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=

1

ξ

，x＜ξ＜y               …（1分）
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny-lnx=

y-x

ξ

，又

y-x

y

＜

y-x

ξ

＜

y-x

x

…（*）    …（2分）
即1-

y

x

＜lny-lnx＜

y

x

-1（0＜x＜y）  …（3分）
②证明：由（*）式可得

2-1

2

＜ln2-ln1＜

2-1

1

，

3-2

2

＜ln3-ln2＜

3-2

2

，
…

n-(n-1)

n

＜lnn-ln（n-1）＜

n-(n-1)

n-1

，…（6分）
上述不等式相加，得

n

k-2

1

k

＜lnn＜

n-1

k-1

1

k

（n＞1）…（8分）
（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式

n-(n-1)

n

＜lnn-ln（n-1）＜

n-(n-1)

n-1

，给出2分）
（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）不恒成立．
（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）
当n=1时，f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）显然成立．…（9分）
当n=2时，f（x）-f（y）=x²-y²=2（

x+y

2

）（x-y）=f′（

x+y

2

）（x-y）．…（10分）
下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）不恒成立．
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1=n．                         …（11分）
当n≥3时，2^n-1=（1+1）^n-1=

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+…+

C

n-1 n-1

≥2+

C

1 n-1

=n+1＞n，…（13分）
因此，n≥3时方程2^n-1=n无解．
故n的所有可能值为1和2．…（14分）

点评：本题考查思想归纳法，着重考查构造函数与推理证明的能力，考查累加法与反证法的综合应用，属于难题．