Question

（1）求和：（a-1）+（a²-2）+…+（aⁿ-n），（a≠0）
（2）求和：1+2x+3x²+…+nx^n-1．

Answer 1

分析：（1）利用分组求和法进行求和，注意讨论当a=1或a≠1两种情况．
（2）利用错误相减法求数列的和，注意讨论x=0，x=1和x≠0且x≠1三种情况．

解答：解：（1）当a=1时，原式=n-1-2-…-n=n-

n(n+1)

2

=

n

2

-

n2

2

．
当a≠1时，原式=（a+a²+…+aⁿ）-（1+2+…+n）=

a(1-an)

1-a

-

n(n+1)

2

．
∴原式=

n 2 - n2 2 ，a=1 a(1-an) 1-a - n(n+1) 2 ，a≠1

．
（2）设S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
当x=0时，S_n=1．
当x=1，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
当x≠0且x≠1时，S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1．①
xS_n=x+2x²+…+nxⁿ．②
两式相减得，（1-x）S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=

1-xn

1-x

-nxn，
∴Sn=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

．
故Sn=

1，x=0 n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1且x≠0

．

点评：本题主要考查等比数列的前n项和，以及利用分组法和错位相减法求数列的和，注意对字母要进行讨论．