题目内容
已知集合M={x|1≤x≤10,x∈N},对它的非空子集A,将A中每个元素k,都乘以(-1)k再求和(如A={1,3,6},可求得和为(-1)•1+(-1)3•3+(-1)6•6=2,则对M的所有非空子集,这些和的总和是
2560
2560
.分析:根据题意,将M中所有非空子集分类考虑完备,将所有非空子集中的含有1的总个数确定好,从而可求其和,同理求得含有2、3…10的部分的和,问题即可解决.
解答:解:∵M={x|1≤x≤10,x∈N}={1,2,…10},
∴M中所有非空子集中含有1的有10类:
①单元素集合只有{1}含有1,即1出现了C90次;
②双元素集合有1的有{1,2},{1,3},…{1,10},即1出现了C91次;
③三元素集合中含有1的有{1,2,3},{1,2,4},…{1,9,10}即1出现了C92次;
…
⑩含有十个元素{1,2,…}1出现了C99次;
∴1共出现C90+C91+…+C99=29;
同理2,3,4,…10各出现29次,
∴M的所有非空子集中,这些和的总和是 29•[(-1)1+2×(-1)2+…+10×(-1)10]=29×5=2560.
故答案为:2560.
∴M中所有非空子集中含有1的有10类:
①单元素集合只有{1}含有1,即1出现了C90次;
②双元素集合有1的有{1,2},{1,3},…{1,10},即1出现了C91次;
③三元素集合中含有1的有{1,2,3},{1,2,4},…{1,9,10}即1出现了C92次;
…
⑩含有十个元素{1,2,…}1出现了C99次;
∴1共出现C90+C91+…+C99=29;
同理2,3,4,…10各出现29次,
∴M的所有非空子集中,这些和的总和是 29•[(-1)1+2×(-1)2+…+10×(-1)10]=29×5=2560.
故答案为:2560.
点评:本题考查数列求和,难点在于将M中所有非空子集合理分类计算,用组合数性质解决,考查学生综合分析与推理的能力,属于难题.
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