题目内容
(本题满分15分)
设分别是椭圆
的左、右焦点.
⑴若是该椭圆上的一点,且
,求
的面积;
⑵若是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值;
⑶设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围.
【答案】
(1)(2)
的最大值为1,最小值为-2(3)
或
【解析】
试题分析:(1)易知,
,
,所以
,
,
所以,又
是该椭圆上的一点,所以
,
因为,所以在
中利用余弦定理可知:
,
即,
所以的面积为
. ……5分
(2)解法一:设P,
则,
因为,故当
,即点P为椭圆短轴端点时,
有最小值-2;
当,即点P为椭圆长轴端点时,
有最大值1。 ……10分
解法二:(1)易知,
,
,所以
,
,设P
,则
(以下同解法一)。 ……10分
(3)显然直线不满足题设条件。
可设直线:
,A(
),B(
),
联立,消去
,整理得:
,
∴,
由得:
或
①
又,
∴,
又,
∵,即
,∴
②
故由①②得或
。 ……15分
考点:本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、三角形面积、余弦定理和向量的数量积的应用等,考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力.
点评:第(1)问求三角形的面积,只需求出即可;第(3)中设直线方程时,要考虑直线的斜率是否存在.
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