题目内容

(本题满分15分)

分别是椭圆的左、右焦点.

⑴若是该椭圆上的一点,且,求的面积;

⑵若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;

⑶设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.

 

【答案】

(1)(2)的最大值为1,最小值为-2(3)

【解析】

试题分析:(1)易知,所以

所以,又是该椭圆上的一点,所以

因为,所以在中利用余弦定理可知:,

所以的面积为.                                    ……5分

(2)解法一:设P

因为,故当,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值-2;

,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1。                         ……10分

解法二:(1)易知,所以,设P,则

(以下同解法一)。          ……10分

(3)显然直线不满足题设条件。

可设直线,A(),B(),

联立,消去,整理得:

得:

,即,∴    ②

故由①②得。                                          ……15分

考点:本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、三角形面积、余弦定理和向量的数量积的应用等,考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力.

点评:第(1)问求三角形的面积,只需求出即可;第(3)中设直线方程时,要考虑直线的斜率是否存在.

 

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