题目内容
1．请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx，利用上面的想法（或其他方法），求和$\sum_{k=1}^{n}$3k-1•k${C}_{n}^{k}$=n•4n-1．分析 对二项式定理的展开式两边求导数，令x=3，即可得到结论．
解答 解：在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边对x求导得：
n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1，
令x=3可得，n•3n-1=30•Cn1+31•2Cn2+…+3n-2•（n-1）Cnn-1+3n-1•nCnn，
即有求和$\sum_{k=1}^{n}$3k-1•k${C}_{n}^{k}$=n•4n-1，
故答案为：n•4n-1．
点评 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查运算能力．
练习册系列答案
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19．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：cm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如表：
甲厂：
乙厂：
（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
（2）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
附K2=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，
甲厂：
| 分组 | [29.86， 29.90 ） | [29.90， 29.94） | [29.94， 29.98） | [29.9 8， 30.02） | [30.02， 30.06） | [30.06， 30.10） | [30.10， 30.14） |
| 频数 | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
| 分组 | [29.86， 29.90） | [29.90， 29.94） | [29.94， 29.98） | [29.98， 30.02） | [30.02， 30.06） | [30.06， 30.10） | [30.10， 30.14） |
| 频数 | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
（2）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
| 甲厂 | 乙厂 | 合计 | |
| 优质品 | |||
| 非优质品 | |||
| 合计 |
| p（K2≥k） | 0.05 | 0.01 |
| k | 3.841 | 6.635 |
20．命题“?x∈R，sin2x＞1”的否定是（ ）
| A． | ?x∈R，sin2x≤1 | B． | ?x∉R，sin2x＞1 | C． | ?x0∈R，sin2x≤1 | D． | ?x0∉R，sin2x＞1 |
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F1（-1，0）和右焦点F2（1，0），且AC⊥BD，椭圆的一条准线方程为x=4．