Question

16．函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1为增函数的区间是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，则函数t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x为减函数，
则函数等价为y=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$．
要求函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1为增函数的区间，
即求函数y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$的减区间，
即t∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
由t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤$\frac{1}{2}$得x≥$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1为增函数的区间是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞），
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．