Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM=AB₁，BN=BC₁，则下列结论：①AA₁⊥MN；②A₁C₁// MN；③MN//平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN，其中，
正确命题的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

B

解；在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的四条棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分别取点G，F，E，H四点，
使AG= A₁A，BF=B₁B，CE=C₁C，DH= D₁D，连接GF，FE，EH，HG，
∵点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM=AB₁，BN= BC₁，
∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，∵MN?平面GFEH，∴AA₁⊥MN，∴①正确．
∵A₁C₁∥GE，而GE与MN不平行，∴A₁C₁与MN不平行，∴②错误．
∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，∴③正确．
∵B₁D₁⊥FH，FH?平面GFEH，MN?平面GFEH，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
且MN与FH不平行，∴B₁D₁不可能垂直于MN，∴④错误
∴正确命题只有①③
故选B