题目内容
已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,点A,B是抛物线x2=4y上的两个动点,且满足
=λ
(λ>0),过点A,B分别作抛物线的两条切线,设两切线的交点为M,试推断
•
是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
| ||
3 |
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,点A,B是抛物线x2=4y上的两个动点,且满足
AF |
FB |
FM |
AB |
分析:(Ⅰ)要求椭圆方程,只需找到含a,b,c的3个等式即可,因为椭圆中心在原点,焦点在y轴上,可设椭圆方程为
+
=1(a>b>0),由离心率为
,可得
=
,由以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切可得b=
=
,再由a2=b2+c2,可求出a,b,c,进而求出椭圆的标准方程.
(Ⅱ)先设出A(x1,y1),B(x2,y2).由
=λ
,得A,B坐标关系,再利用导数求过A,B 点的切线方程,联立求交点M坐标,计算
•
的值,如能求出,则存在,如不能求出,则不存在.
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
| ||
3 |
c |
a |
| ||
3 |
2 | ||
|
2 |
(Ⅱ)先设出A(x1,y1),B(x2,y2).由
AF |
FB |
FM |
AB |
解答:解:(Ⅰ)设椭圆方程为
+
=1(a>b>0).(1分)
因为e=
,得
=
.又b=
=
,则b2=2,a2=3.
故椭圆的标准方程是
+
=1.
(Ⅱ)由椭圆方程知,c=1,所以焦点F(0,1),设点
由
=λ
,得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),所以-x1=λx2,1-y1=λ(y2-1).
于是x12=λ2x22.因为x12=4y1,x22=4y2,则y1=λ2y2.
联立y1=λ2y2和1-y1=λ(y2-1),得y1=λ,y2=
.
因为抛物线方程为y=
x2,求导得y′=
x.设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1,l2,则
直线l1的方程是y=
x1(x-x1)+y1,即y=
x1x-
x12.
直线l2的方程是y=
x2(x-x2)+y2,即y=
x2x-
x22.
联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为(
,
).
因为x1x2=-λx22=-4λy2=-4.所以点M(
,-1).
于是
=(
,-2),
=(x2-x1,y2-y1).
所以
•
=
-2(y2-y1)=
(x22-x12)-2(
x22-
x12)=0.
故
•
为定值0.
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
因为e=
| ||
3 |
b2 |
a2 |
2 |
3 |
2 | ||
|
2 |
故椭圆的标准方程是
y2 |
3 |
x2 |
2 |
(Ⅱ)由椭圆方程知,c=1,所以焦点F(0,1),设点
由
AF |
FB |
于是x12=λ2x22.因为x12=4y1,x22=4y2,则y1=λ2y2.
联立y1=λ2y2和1-y1=λ(y2-1),得y1=λ,y2=
1 |
λ |
因为抛物线方程为y=
1 |
4 |
1 |
2 |
直线l1的方程是y=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
直线l2的方程是y=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为(
x1+x2 |
2 |
x1x2 |
4 |
因为x1x2=-λx22=-4λy2=-4.所以点M(
x1+x2 |
2 |
于是
FM |
x1+x2 |
2 |
AB |
所以
FM |
AB |
| ||||
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
故
F2M |
AB |
点评:本题考查椭圆方程的求法,以及直线与椭圆关系的判断,题型有代表性,认真解答.
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