题目内容

已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为
3
3
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,点A,B是抛物线x2=4y上的两个动点,且满足
AF
FB
 (λ>0)
,过点A,B分别作抛物线的两条切线,设两切线的交点为M,试推断
FM
AB
是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
分析:(Ⅰ)要求椭圆方程,只需找到含a,b,c的3个等式即可,因为椭圆中心在原点,焦点在y轴上,可设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0),由离心率为
3
3
,可得
c
a
=
3
3
,由以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切可得b=
2
1+1
=
2
,再由a2=b2+c2,可求出a,b,c,进而求出椭圆的标准方程.
(Ⅱ)先设出A(x1,y1),B(x2,y2).由
AF
FB
,得A,B坐标关系,再利用导数求过A,B 点的切线方程,联立求交点M坐标,计算
FM
AB
的值,如能求出,则存在,如不能求出,则不存在.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0).(1分)
因为e=
3
3
,得
b2
a2
=
2
3
.又b=
2
1+1
=
2
,则b2=2,a2=3.
故椭圆的标准方程是
y2
3
+
x2
2
=1

(Ⅱ)由椭圆方程知,c=1,所以焦点F(0,1),设点
AF
FB
,得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),所以-x1=λx2,1-y1=λ(y2-1).
于是x122x22.因为x12=4y1,x22=4y2,则y12y2
联立y12y2和1-y1=λ(y2-1),得y1=λ,y2=
1
λ

因为抛物线方程为y=
1
4
x2,求导得y′=
1
2
x.设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1,l2,则
直线l1的方程是y=
1
2
x1(x-x1)+y1,即y=
1
2
x1x-
1
4
x12
直线l2的方程是y=
1
2
x2(x-x2)+y2,即y=
1
2
x2x-
1
4
x22
联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为(
x1+x2
2
x1x2
4
)

因为x1x2=-λx22=-4λy2=-4.所以点M(
x1+x2
2
,-1)

于是
FM
=(
x1+x2
2
,-2)
AB
=(x2-x1,y2-y1).
所以
FM
AB
=
x
2
2
-
x
2
1
2
-2(y2-y1)
=
1
2
(x22-x12)-2(
1
4
x22-
1
4
x12)=0.
F2M
AB
为定值0.
点评:本题考查椭圆方程的求法,以及直线与椭圆关系的判断,题型有代表性,认真解答.
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