Question

设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，化简得 4cos（A-B）=5cos（A+B），由此求得tanA•tanB的值．
（2）利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用基本不等式
求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值．
解答：解：（1）由，得．…（2分）
即  ，
亦即  4cos（A-B）=5cos（A+B），…（4分）
所以  ．…（6分）
（2）因，…（8分）
而，
所以，tan（A+B）有最小值，…（10分） 
  当且仅当时，取得最小值．
又tanC=-tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．…（13分）
点评：本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．