Question

（2012•虹口区三模）已知圆G：x2+y2-2x-

2

y=0经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为

5

6

π的直线l交椭圆于C、D两点，若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用圆的方程，确定F，B的坐标，进而可得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，建立不等式，即可确定m的取值范围．

解答：解：（1）∵圆G：x2+y2-2x-

2

y=0经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B．
∴F（2，0），B(0，

2

)
∴c=2，b=

2

∴a²=6
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1
（2）设直线l的方程为y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)
由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

得2x²-2mx+（m²-6）=0
由△=4m²-8（m²-6）＞0，可得-2

3

＜m＜2

3

，
又m＞

6

，∴

6

＜m＜2

3

（10分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

，
∴y1y2=[-

3

3

(x1-m)]•[-

3

3

(x2-m)]=

1

3

x1x2-

m

3

(x1+x2)+

m2

3

∵

FC

=(x1-2，y1)，

FD

=(x2-2，y2)，
∴

FC

•

FD

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=

4

3

x1x2-

(m+6)

3

(x1x2)+

m2

3

+4=

2m(m-3)

3

∵点F在圆G的外部，∴

FC

•

FD

＞0，即

2m(m-3)

3

＞0，
解得m＜0或m＞3，又

6

＜m＜2

3

，
∴3＜m＜2

3

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．