题目内容
（2012•虹口区三模）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2(1+
)2an．
（1）令bn=
，求数列{bn}和{an}的通项公式；
（2）设cn=(An2+Bn+C)•2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N*都有an=cn+1-cn成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，说明理由；
（3）对（2）中数列{cn}，设dn=
，求{dn}的最小项的值．
| 1 |
| n |
（1）令bn=
| an |
| n2 |
（2）设cn=(An2+Bn+C)•2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N*都有an=cn+1-cn成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，说明理由；
（3）对（2）中数列{cn}，设dn=
| an |
| cn |
分析：（1）由条件，可得
=2•
，从而可得{bn}是公比为2的等比数列，由此可求数列{bn}和{an}的通项公式；
（2）根据cn=(An2+Bn+C)•2n，作差，根据an=cn+1-cn恒成立，可得An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2恒成立，由此可求A，B，C的值；
（3）由dn=
=
，令t=
∈(0，1]，利用配方法，即可求得结论．
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
（2）根据cn=(An2+Bn+C)•2n，作差，根据an=cn+1-cn恒成立，可得An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2恒成立，由此可求A，B，C的值；
（3）由dn=
| n2 |
| n2-4n+6 |
| 1 | ||||
|
| 1 |
| n |
解答：解：（1）由已知得
=2•
，∴{bn}是公比为2的等比数列，
∵b1=2，∴bn=2•2n-1=2n
由bn=
=2•2n-1=2n，得an=2n•n2
（2）∵cn=(An2+Bn+C)•2n，
∴cn+1-cn=[A(n+1)2+B(n+1)+C]•2n+1-(An2+Bn+C)•2n=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n
若an=cn+1-cn恒成立，则An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2恒成立，
∴
，∴A=1，B=-4，C=6
故存在常数A=1，B=-4，C=6满足条件
（3）dn=
=
，令t=
∈(0，1]
则
-
+1=6t2-4t+1=6(t-
)2+
∵t∈（0，1]，∴t=1时，
-
+1=6t2-4t+1的最大值为3
∴{dn}的最小项的值为
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
∵b1=2，∴bn=2•2n-1=2n
由bn=
| an |
| n2 |
（2）∵cn=(An2+Bn+C)•2n，
∴cn+1-cn=[A(n+1)2+B(n+1)+C]•2n+1-(An2+Bn+C)•2n=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n
若an=cn+1-cn恒成立，则An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2恒成立，
∴
|
故存在常数A=1，B=-4，C=6满足条件
（3）dn=
| n2 |
| n2-4n+6 |
| 1 | ||||
|
| 1 |
| n |
则
| 6 |
| n2 |
| 4 |
| n |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵t∈（0，1]，∴t=1时，
| 6 |
| n2 |
| 4 |
| n |
∴{dn}的最小项的值为
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查等比数列的证明，考查恒等式，考查求函数的最值，正确利用数列通项是关键．
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