Question

17．已知正三棱锥P-ABC中，M，N分别是AB，AP的中点，若MN⊥CN，则此正三棱锥的侧面积与底面ABC的面积之比为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，设出正三棱锥P-ABC的底面边长为a，侧棱长为b，
利用边角关系求出a、b的关系，计算三棱锥的侧面积与底面ABC的面积之比．

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示；
正三棱锥P-ABC中，M、N分别是AB和AP的中点，
且MN⊥CN，
连接CM、BN，过点N作NK⊥AB，垂足为K；
设AB=a，PA=b，
则MN=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$b，
MC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
∴NC²=MC²-MN²=$\frac{3}{4}$a²-$\frac{1}{4}$b²，
NK=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{PA}^{2}-{AM}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$，
BK=$\frac{3}{4}$AB=$\frac{3}{4}$a；
∴BN²=NK²+BK²=$\frac{1}{4}$（b²-$\frac{1}{4}$a²）+$\frac{9}{16}$a²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²，
∴$\frac{3}{4}$a²-$\frac{1}{4}$b²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²，
化简得b²=$\frac{1}{2}$a²；
∴$\frac{{S}_{侧面积}}{{S}_{底面积}}$=$\frac{3{S}_{△PAB}}{{S}_{△ABC}}$
=$\frac{3×\frac{1}{2}•AB•PM}{\frac{1}{2}•AB•MC}$=3×$\frac{PM}{MC}$
=3×$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{（\frac{a}{2}）}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\sqrt{3}$；
即此正三棱锥的侧面积与底面ABC的面积之比为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了求三棱锥的侧面积与底面积的应用问题，考查了计算能力与逻辑推理能力，是综合性题目．