题目内容
已知f(x)在(-1,1)上有定义,


(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)求f(xn)的表达式.
(3)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*且


【答案】分析:(1)先令x=y=0,解得f(0),再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)即f(y)+f(-y)=0由奇偶性定义判断.
(2)由
易知0<xn<1,由主条件得
和f(x)在(-1,1)上为奇函数得f(xn+1)=2f(xn)再由f(x1)=1,得到f(xn)是以1为首项,2为公比的等比数列求解.
(3)由(2)将
成立转化为
恒成立,由
得
求解.
解答:解:(1)当x=y=0时,f(0)=0,再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)即f(y)+f(-y)=0
∴f(x)在(-1,1)上为为奇函数.
(2)由
易知:{xn}中0<xn<1,
∵
且f(x)在(-1,1)上为奇函数
∴f(xn+1)=2f(xn)由
,
∴f(x1)=1
∴f(xn)是以1为首项,2为公比的等比数列∴f(xn)=2n-1
(3)
假设存在m使得
成立,即
恒成立,
∵
,
∴
,
∴m≥16,
∴存在自然数m≥16,
使得
成立,此时最小的自然数m=16.
点评:本题主要考查抽象抽象函数判断奇偶性及求解析式,进而转化为数列模型研究等比数列求和解决恒成立问题.
(2)由


(3)由(2)将




解答:解:(1)当x=y=0时,f(0)=0,再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)即f(y)+f(-y)=0
∴f(x)在(-1,1)上为为奇函数.
(2)由

∵

∴f(xn+1)=2f(xn)由


∴f(x1)=1
∴f(xn)是以1为首项,2为公比的等比数列∴f(xn)=2n-1
(3)

假设存在m使得


∵

∴

∴m≥16,
∴存在自然数m≥16,
使得

点评:本题主要考查抽象抽象函数判断奇偶性及求解析式,进而转化为数列模型研究等比数列求和解决恒成立问题.

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