【答案】
分析:(1)先令x=y=0,解得f(0),再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)即f(y)+f(-y)=0由奇偶性定义判断.
(2)由

易知0<x
n<1,由主条件得

和f(x)在(-1,1)上为奇函数得f(x
n+1)=2f(x
n)再由f(x
1)=1,得到f(x
n)是以1为首项,2为公比的等比数列求解.
(3)由(2)将

成立转化为

恒成立,由

得

求解.
解答:解:(1)当x=y=0时,f(0)=0,再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)即f(y)+f(-y)=0
∴f(x)在(-1,1)上为为奇函数.
(2)由

易知:{x
n}中0<x
n<1,
∵

且f(x)在(-1,1)上为奇函数
∴f(x
n+1)=2f(x
n)由

,

∴f(x
1)=1
∴f(x
n)是以1为首项,2为公比的等比数列∴f(x
n)=2
n-1(3)

假设存在m使得

成立,即

恒成立,
∵

,
∴

,
∴m≥16,
∴存在自然数m≥16,
使得

成立,此时最小的自然数m=16.
点评:本题主要考查抽象抽象函数判断奇偶性及求解析式,进而转化为数列模型研究等比数列求和解决恒成立问题.