题目内容
【题目】已知函数与
的图象关于直线
对称. (
为自然对数的底数)
(1)若的图象在点
处的切线经过点
,求
的值;
(2)若不等式恒成立,求正整数
的最小值.
【答案】(1)e;(2)2.
【解析】
(1)根据反函数的性质,得出,再利用导数的几何意义,求出曲线
在点
处的切线为
,构造函数
,利用导数求出单调性,即可得出
的值;
(2)设,求导
,求出
的单调性,从而得出最大值为
,结合恒成立的性质,得出正整数
的最小值.
(1)根据题意,与
的图象关于直线
对称,
所以函数的图象与
互为反函数,则
,,
设点,
,又
,
当时,
,
曲线在点
处的切线为
,
即,代入点
,
得,即
,
构造函数,
当时,
,
当时,
,
且,当
时,
单调递增,
而, 故
存在唯一的实数根
.
(2)由于不等式恒成立,
可设,
所以,
令,得
.
所以当时,
;当
时,
,
因此函数在
是增函数,在
是减函数.
故函数的最大值为
.
令,
因为,
,
又因为在
是减函数.
所以当时,
.
所以正整数的最小值为2.
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