Question

17．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD，求证：l∥AE．

Answer 1

分析 AE⊥PD，进而根据PA⊥平面ABCD，推断出PA⊥CD，同时底面ABCD为矩形，推断出CD⊥AD．进而根据线面垂直的判定定理知CD⊥平面PAD．继而可知 CD⊥AE，则AE⊥平面PCD可证明，结合l⊥平面PCD，即可证明l∥AE．

解答 证明：因为 AE⊥PD，
因为PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥CD．
又底面ABCD为矩形，
所以CD⊥AD．
所以CD⊥平面PAD．
所以 CD⊥AE．
又AE⊥PD，PD∩CD=D，
所以 AE⊥平面PCD．
又因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE．

点评 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生空间观察能力和逻辑推理能力，属于中档题．