题目内容

求证：(1)x2＋3＞2x；

(2)a2＋b2≥2(a－b－1)；

(3)若a＞b＞c，则bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.

证明：(1)x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，

∴x2＋3＞2x.

(2)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b+1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1).

(3)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)

＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)

＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)

＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)

＝(b－a)(c－a)(c－b).

∵a＞b＞c，

∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.

∴(b－a)(c－a)(c－b)＜0.

∴bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.

点评：用比较法证明不等式，取差后，要注意因式分解或配方，以判断差的符号.

练习册系列答案
相关题目
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意一点都不在直线y=x的下方．
（Ⅰ）求证：a+b+c≥1；
（Ⅱ）设g（x）=x2+x+3，F（x）=f（x）+g（x），若F（0）=5，且F（x）的最小值等于2，求f（x）的解析式．
已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：n＞m．
设f（n，p）=C2np（n，p∈N，p≤2n）．数列{a（n，p）}满足a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p）．
（1）求证：{a（n，2）}是等差数列；
（2）求证：f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=22n-1+
12
C2nn-1；
（3）设函数H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，试比较H（x）-H（a）与2n（1+a）2n-1（x-a）的大小．

已知：|x－1|≤1，

求证：(1)|2x＋3|≤7；

(2)|x2－1|≤3．

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