Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：n＞m．

Answer 1

分析：（1）求导函数，由导数的正负，确定函数的单调性，根据f（x）在[-2，t]上为单调函数，即可确定t的取值范围；（2）f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e，根据f（-2）=13e^-2＜e，可得f（x）仅在x=-2处取得[-2，t]上的最小值f（-2），从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），故问题得证．

解答：（1）解：因为f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x．         2分
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减．            4分
欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则[-2，t]⊆（-∞，0），
∴-2＜t≤0．                 6分
（2）证明：因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e.8分
又∵f（-2）=13e^-2＜e，所以f（x）仅在x=-2处取得[-2，t]上的最小值f（-2）.10分
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n.12分

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，确定函数的单调性是关键．